SEJARAH FILSAFAT MATEMATIKA DI BARAT

Di dunia ini banyak sekali sejarah dalam kehidupan kita. Salah satunya sejarah dan ilmu matematika. sejarah dalam bidang matematika ini juga meliputi banyak hal, misalnya saja sejarah perkembangan matematika di suatu daerah, sampai dengan penemuan-penemuan dalam bidang matematika oleh para ahli matematikawan dunia.

Sejarah ilmu matematika berkembang sesuai dengan zamannya. Sebagai contoh, pada tahun 2000 SM sampai dengan 300 M, telah muncul Ilmu Hitung, Geometri, dan Logika. pada 300 M sampai dengan 1400 M telah berkembang teori bilangan, Geometri Analitik, Aljabar, dan Trigonometri. Serta sejarah matematika ilmu sampai abad ke-20 yang melahirkan tentang Logika matematika,Geometri non Euclid, dan lain-lain.

Dalam pandangan formalis, ilmu matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika, pandangan lain tergambar dalam filsafat. Para matematikawan merumuskan konjektur dan kebenaran baru melalui deduksi yang menyeluruh dari beberapa aksioma dan definisi yang dipilih dan saling bersesuaian. terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika hadir secara objektif di alam menurut kemurnian logikanya, atau apakah objek-objek itu buatan manusia dan terpisah dari kenyataan.

Melalui penggunaan abstraksi dan penalaran logika, ilmu matematika dikemangkan dari pencacahan, penghitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematik terhadap bentuk dan gerak objek-objek fisika.

Pengetahuan dan penggunaan matematika dasar selalu menjadi sifat melekat dan bagian utuh dari kehidupan individual dan kelompok. Pemurnian gagasan-gagasan dasar dapat diketahui di dalam naskah-naskah matematika yang bermula di dunia Mesir kuno, Mesopotamia, India, Cina, Yunani, dan Islam.

Argumentasi kaku pertama muncul di dalam matematika Yunani, terutama di dalam buku Euclid, Unsur-Unsur. Pengembangan berlanjut di dalam ledakan yang tidak menenteramkan hingga periode Renaisans pada abad ke-16, ketika pembaharuan matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, mengarah pada percepatan penelitian yang menerus hingga saat ini.

Filsafat di barat dibagi kedalam 4 periode, yaitu zaman yunani kuno, abad pertengahan,  zaman modern dan masa kini

1.      Zaman yunani kuno

Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M.

Tokoh-tokoh filsafat matematika yang populer pada masa itu ialah Thales dan Pythagoras. Thales dari Miletus (kira-kira 624 sampai 546 SM) dan Pythagoras dari Samos (kira-kira 582 sampai 507 SM). Meskipun perluasan pengaruh mereka dipersengketakan, mereka mungkin diilhami oleh Matematika Mesir dan Babilonia. Menurut legenda, Pythagoras bersafari ke Mesir untuk mempelajari matematika, geometri, dan astronomi dari pendeta Mesir.

Thales menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan ketinggian piramida dan jarak perahu dari garis pantai. Dia dihargai sebagai orang pertama yang menggunakan penalaran deduktif untuk diterapkan pada geometri.

Pythagoras mendirikan Mazhab Pythagoras, yang mendakwakan bahwa matematikalah yang menguasai semesta dan semboyannya adalah "semua adalah bilangan". Mazhab Pythagoraslah yang menggulirkan istilah "matematika", dan merekalah yang memulakan pengkajian matematika. Mazhab Pythagoras dihargai sebagai penemu bukti pertama teorema Pythagoras, meskipun diketahui bahwa teorema itu memiliki sejarah yang panjang, bahkan dengan bukti keujudan bilangan irasional.

2.    Zaman Abad Pertengahan

Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad kemandekan. Bahkan setelah runtuhnya Kekaisaran Romawi masuk ke Abad Pertengahan kebudayaan eropa mengalami kemunduran dibanding perkembangan pesat lainnya. 

Zaman baru yang kemudian disebut dengan Abad Pertengahan (Middle Ages atau Medieval) dianggap sebagai permulaan kebudayaan Barat. Namun karena terdapat kontroversi dikalangan sejarawan tentang waktu yang pasti kapan persisnya Zaman Kegelapan bermula, maka waktu yang pasti kapan Zaman Pertengahan dimulai juga masih diperdebatkan.

Salah seorang tokoh yang terkenal pada masa ini adalah Aristoteles. Pemikirannya ialah mengenai logika. Aristoteles menegaskan bahwa ada dua cara untuk mendapatkan kesimpulan demi memperoleh pengetahuan dan kebenaran baru, yaitu metode rasional-deduktif dan metode empiris-induktif. Dalam metode rasional-deduktif dari premis dua pernyataan yang benar, dibuat konklusi yang berupa pernyataan ketiga yang mengandung unsur-unsur dalam kedua premis itu. Inilah silogisme, yang merupakan fondasi penting dalam logika, yaitu cabang filsafat yang secara khusus menguji keabsahan cara berfikir.

3.    Zaman Modern

            Di antara abad pertengahan dengan abad modern dikenal dengan istilah Renesanse. Masa setelah Abad Pertengahan adalah masa Modern. Sekalipun, memang tidak jelas kapan berakhirnya abad pertengahan itu. Akan tetapi, ada hal-hal yang jelas menandai masa Modern ini, yaitu berkembang pesat berbagai kehidupan manusia Barat, khususnya dalam bidang kebudayaan, ilmu pengetahuan, dan ekonomi. Usaha untuk menghidupkan kembali kebudayaan klasik Yunani-Romawi. 

Pada masa Modern terjadi perkembangan yang pesat pada bidang ekonomi. Hal ini terlihat dari kota-kota yang berkembang menjadi pusat perdagangan, pertukaran barang, kegiatan ekonomi monoter, dan perbankan. Kaum kelas menengah melakukan upaya untuk bangkit dari keterpurukan dengan mengembangkan suatu kebebasan tertentu.

Dari sudut pandang sejarah Filsafat Barat melihat bahwa masa modern merupakan periode dimana berbagai aliran pemikiran baru mulai bermunculan dan beradu dalam kancah pemikiran filosofis Barat.

Ada beberapa tokoh yang menjadi perintis yang membuka jalan baru menuju perkembangan ilmiah yang modern. Salah satu dari mereka ialah:

a.       Leonardo da Vinci (1452-1519), Karya ilmiahnya adalah dibidang dinamika, anatomi, fisika, optika, biologi, hidrolika dan aeronautika.

b.      Johann Kepler (1571-1630)

Nicolaus Coperticus, Galileo Galilei, dan Johannes Kepler (1571-1630) adalah peletak dasar astronomi modern. Kepler telah mendapatkan rumus-rumus yang masih dipakai sampai sekarang untuk meramalkan gerakan planet-planet. Kepler mula-mula belajar teologi. Tetapi setelah 2 tahun ia pindah jurusan dan mempelajari astronomi. Pengaruh studi teologinya besar dalam pernyataan- pernyataannya dibidang astronomi.

c.       Francis Bacon (1561-1623) merupakan bapak mekanika klasik. Ia meneruskan karya Galileo dalam berbagai bidang terutama bidang mekanika. Ia menunjukan ketiga hukum mengenai pergerakan benda-benda. Sampai sekarang ketiga hukum itu disebut hukum Newton.

d.      Blaise Pascal (1623-1662) adalah penemu kalkulator teori Pascal memberikan pengaruhnya pada teori matematik di saat Pascal memulai kehidupan di Port Royal yang digunakan mengatasi problem penghitungan yang berhubungan dengan kurva dan lingkaran.

Sekalipun demikian, Rene Descartes merupakan filsuf yang paling terkenal pada masa filsafat modern ini. Rene Descartes (1596-1650) diberikan gelar sebagai bapa filsafat modern. Dia adalah seorang filsuf Perancis. Descartes menulis sebuah buku yang terkenal, yaitu Discours de la method pada tahun 1637. Bukunya tersebut berisi tentang uraian tentang metode perkembangan intelektuilnya.

Penemuan alat cetak mencetak pada jaman modern, yaitu sekitar abad ke 16, telah memungkinkan para matematikawan satu dengan yang lainnya melakukan komunikasi secara lebih intensif, sehingga mampu menerbitkan karya-karya hebat. Hingga sampailah pada jamannya Hilbert yang berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang tunggal, lengkap dan konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan atau ditemukan kesalahannya oleh muridnya sendiri yang bernama Godel yang menyatakan bahwa tidaklah mungkin diciptakan matematika yang tunggal, lengkap dan konsisten. Persoalan Geometri dan Aljabar kuno, dapat ditemukan di dokumen yang tersimpan di Berlin. Salah satu persoalan tersebut misalnya memperkirakan panjang diagonal suatu persegi panjang. Mereka menggunakan hubungan antara panjang sisi-sisi persegi panjang yang kemudian mereka menemukan bentuk segitiga siku-siku. Hubungan antara sisi-sisi siku-siku ini kemudian dikenal dengan nama Teorema Pythagoras.

4.    Masa kini

Masa kini dimulai pada abad 19 dan 20. Pada abad 19 lebih luas lagi membangun landasan logika matematika. Logika ini membuat penalaran lebih terarah dan jelas tetapi secara konsep masih mengikuti ilmu logika sudah ada sebelumnya. Sehingga walaupun logika ini lahir di abad 19 M, konsep dasarnya masih sama dengan logika klasik Aristoteles (384-322 SM). Hanya saja, sekali lagi, logika simbolis menerangkan logika dengan lebih rapih. Pengembangan dan diskusi yang terus dilakukan tidak mengubah konsep dasar yang sudah ada.

Pada jaman Yunani, filsafat pada matematika sangat dipengaruhi oleh studi mereka yaitu geometri, sedangkan pada abad 20, filsafat matematika menyangkut hubungan antara logika dan matematika dan ditandai dengan minat yang dominan dalam logika formal, teori himpunan, dan isu-isu mendasar.

Perkembangan cabang-cabang matematika mulai zaman sebelum masehi sampai sekarang seperti aritmetika, geometri kalkulus, aljabar, statistik dan analisis beserta pembuktian-pembuktian yang telah ditemukan oleh para ahli matematika dapat kita pelajari sampai sekarang.

HUBUNGAN FILSAFAT DENGAN MATEMATIKA PADA ZAMAN KUNO

Dua bidang pengetahuan rasional yang tidak diragukan lagi berhubungan sangat erat sejak dulu sampai sekarang ialah filsafat dan matematika. Namun hubungan itu sering diuraikan secara keliru oleh sebagai filsuf maupun ahli matematika. Mungkin karena terkesan oleh perkembangan filsafat pada zaman dulu, orang memberikan kedudukan utama kepada filsafat.

Misalnya saja 3 ahli metematika Charles Brumfiel, Robert Eicholz, dan Merrill Shanks yang bekerja sama mengarang sebuah buku pelajaran geometri menulis pernyataan yang berikut : ”In the early Greek civilization, philosophy was the study of all branches of knowledge. As man’s learning increased through  the ages, certain disciplines  the ages, certain discipline grew until they split away from philosophy and became separate areas of study. We no longer  think  of  medicine, economics, etc, as parts of philossophy, although philosophy was the father of all these sciences.” (Pada awal peradaban yunani, filsafat adalah penelaahan dari semua cabang pengetahuan. Ketika pengetahuan ilmiah manusia bertambah selama berabad – abad, cabang- cabang ilmu tertentu tumbuh sampai mereka memisahkan diri dari filsafat dan menjadi bidang- bidang studi yang terpisah. Kita tidak lagi menganggap ilmu kedokteran, ilmu hukum, matematika, fisika, kimia, biologi ilmu ekonomi, dan lain- lainnya sebagai bagian-bagian dari filsafat, meski pun filsafat merupakan ayah dari semua ilmu ini.)

Dari pihak filsuf sendiri misalnya Francis bacon (1561-1626), toko pembaharu Zaman Renaissance dari Inggris, menyebut filsafat sebagai “the great mother of the sciences” (ibu agung dari ilmu-ilmu). Jadi semua cabang ilmu termasuk matematika dianggap lahir dari ”ayah” atau “ibu” yang terkenal sebagai filsafat.

Betapa kelirunya pendapat-pendapat di atas akan ditunjukan dalam urayan berikut. Filsafat dan geometri (suatu cabang matematika) sesungguhnya lahir pada masa yang berbarengan, di tempat yang sama, dan dari ayah yang tunggal, yakni sekitar 640-546 sebelum masehi, di Miletus (terletak di pantai barat negara Turki sekarang), dan dari pikiran seorang pandai bernama Thale. Oleh seorang ahli dewasa ini Wesley Salmon yang menulis sebuah pengantar kefilsafatan tentang ruang, waktu, dan gerak, filsafat  dan geometri diyatakan sebagai “the twin sisters” (saudari kembar).

Daerah kelahiran filsafat dan matematika pada zaman Yunani Kuno dapatlah kiranya dilihat pada peta yang berikut:

Thales dari Miletus oleh para penulis sejarah filsafat diakui sebagai Ayah dari Filsafat (the Father of Philosopy). Oleh sebagian sarjana  ia dianggap sebagai ilmuwan pertama dari dunia ini karena mempelopori ilmu ukur dan ilmu falak. Oleh orang–orang Yunani kemudian Thales dimasukkan sebagai salah seorang dari tujuh Orang Arif Yunani (Seven Wise Men of Greece). Ia merupakan filsuf yang mendirikan mashab filsafat alam Ionia dan mempertanyakan unsur tunggal apa yang menjadi dasar perubahan atau membentuk jagat ini.Jawabannya ialah bahwa materi dasar kosmis itu ialah air, sedang bumi ini merupakan suatu benda berbentuk piring yang mengapung pada suatu kumpulan air yang tak terbatas. Jadi Thales mempelopori kosmologi sebagai filsafat alam yang mempersoalkan asal mula, sifat alami, dan struktur dari jagat raya ini. Sebagai ilmuwan Thales mempelajari magnetisme dan listrik, mengemukakan pendapat bawah bulan bersinar karena memantulkan cahaya dari matahari, dan meramalkan terjadinya gerhana matahari pada tahun 585SM.

Sebuah legenda mengenai orang arif ini mengisahkan bahwa Thales mengangkut garam dengan memakai keledainya. Pada suatu hari secara tak sengaja keledai itu terjatuh di sungai sehingga garamnya larut dan bebannya menjadi enteng. Pada waktu-waktu berikutnya keledai itu mempunyai kebiasaan menjatuhkan diri kedalam sungai untuk meringankan bawaannya. Thales menyembuhkan kebiasaan licik itu dengan membebani hewannya untuk mengangkut bunga karang sehingga sepon itu menjadi lebih berat kalau kemasukan air. Ternyata budi manusia senantiasa lebih unggul dari pada kecerdikan hewan apapun.

Dalam sejarah matematika Thales diakui sebagai pencipta dari geometri abstrak yang pertama berdasarkan rangkaian petunjuk mengukur tanah yang telah dipraktekkan oleh bangsa-bangsa Babylonia dan Mesir selama berabad-abad. Ia merupakan ahli matematika Yunani pertama yang oleh Ward Bouwama dinyatakan pula sebagai ayah dari penalaran deduktif (the father of deductive reasoning).Thales merubah petunjuk-petunjuk praktis Babylonia dan Mesir itu menjadi proposisi-proposisi yang secara matematis dibuktikan kebenarannya langka demi langkah seperti yang terlihat dalam pembuktian-pembuktian ilmu ukur dewasa ini. Ia sendiri diakui telah membuktikan 6 dalil pokok geometri, di antaranya dalil bahwa kedua sudut alas dari suatu segitiga sama kaki adalah sama besarnya. Tetapi geometri praktis juga mendapat perhatiannya, yakni dengan menemukan cara mengukur tinggi piramid berdasarkan bayangannya. Untuk mengukur itu konon Thales berdiri menunggu di bawah sinar matahari dekat sebuah piramid, dan pada saat panjang bayangan badannya sama dengan tinggi badannya yang telah diketahui  Ia lalu mengukur panjang bayangan di tanah dari piramid itu yang tentulah merupakan pula tinggi. Cara menghitung jarak antara sebuah kapal dengan tepi pantai ditemukan juga oleh Thales.

Dari bukti historis di atas ternyatalah pendapat bahwa filsafat merupakan ayah ibu dari matematika adalah keliru. Matematika tidak pernah lahir dari filsafat, melainkan keduanya berkembang bersama-sama dengan saling memberikan persoalan-persoalan sebagai bahan masuk  dan umpan balik. Dalam lintasan sejarah kedua saudari kembar filsafat dan matematika itu selanjutnya tumbuh bersama-sama dibawah asuhan filsuf yang juga ahli matematika pythagoras (572-497 S.M.). Ia mendirikan mazhab pythagoreanisme di Crotona yang mengemukakan ajaran filsafat bahwa substansi dari semua benda ialah bilangan dan bahwa segenap gejala alam merupakan pengungkapan inderawi dari perbandingan-perbandingan matematis. Mazhab ini menyimpulkan pula bahwa bilangan merupakan intisari dan dasar pokok dari sifat-sifat benda. Filsafat pythagoras dan para penganutnya dipadatkan menjadi sebuah dalil yang berbunyi ”Number rules the universe” (bilangan memerintah jagad raya ini). Seiring dengan filsafat yang mengagungkan bilangan-bilangan yang itu, Mazhab tersebut juga menelaah dan mengembangkan pokok soal matematika yang kini termasuk teori bilangan. Misalkan saja dipelajari susunan bilangan mempunyai bentuk geometris (figurate numbers) yang contohnya berikut.

Berdasarkan jumlah titik dan pola susunannya kelima contoh diatas merupakan 5 macam figurate numbers yang berikut:
A)    10 : bilangan segitiga
B)    16 : bilangan bujursangkar
C)    20 : bilangan segi-empat panjang
D)    22 : bilangan segilima
E)    25 : bilangan segi-enam

Teori bilangan itu oleh para pengikut Pythagoras dikaitkan pula dengan ajaran mistik. Misalnya menurut kepercayaan mereka, bilangan 1 mewakili akal, bilangan 2 mewakili pria, bilangan 3 diperuntukkan pengertian wanita, bilangan 4 menunjuk pada keadilan (karena merupakan hasil kali dua bilangan yang sama), sedang bilangan 5 dianggap mencerminkan perkawinan (karena penggabungan pria dan wanita, 2 + 3) Bilangan 10 yang berbentuk geometris segitiga dan dinamakan tetraktys karena mempunyai 4 baris dianggap sebagai suatu bilangan yang suci. Bilangan ini merupakan penggabungan 4 hal yang mewujudkan suatu keseluruhan dari akal dan keadilan dari pria serta wanita maupun penciptaan kosmos dengan 4 unsur pokok berupa air, api, udara, dan tanah.

Berdasarkan perbandingan di antara bilangan-bilangan diperkembangkan pula teori musik. Dari penyelidikannya Pythagoras menemukan bahwa perbedaan nada-nada dalam musik ditentukan oleh perbandingan-perbandingan antara bilangan-bilangan bulat. Gambar biola berikut dengan seuntai senar yang dihimpitkan di atasnya akan menjelaskan teori matematis tentang musik tersebut.

1. Kedudukan jari I menghasilkan suatu panjang senar yang mengeluarkan nada C rendah, satu oktaf di bawah nada C tengah.
2. Posisi kedua yang merupakan  ¾ dari panjang senar itu memberikan nada F di atas nada C rendah.
3. Posisi ketiga, ²/₃  panjang senar menghasilkan nada G.
4. Kedudukan jari pada titik IV yang merupakan ¹/₂ dari panjang senar yang bersangkutan memberikan nada C tengah.

Terlepas dari kelemahan-kelemahan metafisika dan doktrin mistik Mazhabnya,Phytagoras sendiri merupakan seorang ahli dikenal oleh setiap anak sekolah menengah karena dalil Pythagoras yang dirumuskannya : ”Jumlah dari luas 2 sisi sebuah segitiga siku-siku adalah sama dengan dua sisi miringnya” atau lebih terkenal dengan rumus a^² + b^² = c^².

Pembuktian langkah demi langkah secara matematis terhadap kebenaran dalil Pythagoras itu kemudian dimuat dalam buku Elements yang disusun oleh Euclides, konon seorang guru besar matematika pada universitas di Alexandria dan juga pembentuk mazhab Alexandria dalam matematika

Hubungan timbal-balik dan saling pengaruh antara filsafat dan matematika dipacu pula oleh filsuf Zeno dari Elea. Beliau memperbincangkan paradoks-paradoks yang bertalian dengan pengertian-pengertian gerakan, waktu, dan ruang yang kemudian selama berabad-abad membingungkan para filsuf dan ahli matematika.

Dua perbincangan paradoks yang terkenal  dari Zeno (semuanya ada 4 buah ) sebagai contoh saja yang kemudian baru dapat diselesaikan oleh para ahli matematik dalam abad 17 ialah :

1. Keganjilan Dikotomi

Menurut Zeno gerak tidaklah mungkin terjadi . Untuk sesuatu benda bergerak mencapai suatu jarak tertentu, benda itu harus menempuh ½ dari jarak termaksud, dan sebelum menempuh setengah jarak itu harus pula melewati ½ jarak yang terdahulu ini, demikian seterusnya setiap kali ada jarak ½  yang harus dijalani secara terus menerus. Ini berarti ruang yang dapat dibagi dalam dikotomi yang jumlahnya tidak terhingga tidak mungkin ditempuh dalam jangka waktu yang tertentu. Dengan demikian menurut perbincangan ini, bergerak dari suatu titik ke titik lain tidaklah mungkin.

2. Keganjilan Achilles.

Pelari cepat Achiles tidak mungkin mengejar seekor kura-kura yang lambat bilamana binatang itu telah berjalan mendahului pada suatu jarak tertentu. Argumentasi yang dikemukakan Zeno ialah bahwa pada saat Achilles mencapai titik berangkat yang pertama dari kura-kura itu binatang itu telah berjalan maju menempuh suatu jarak tertentu. Ketika Achilles mengejar sampai titik yang kedua itu, kura kura sudah maju lagi demikian seterusnya sehingga binatang itu selalu berada di muka Achilles.

Paradoks-paradoks Zeno itu selama 20 abad lebih tidak dapat dipecahkan orang secara logis. Penyelesaiannya barulah dimungkinkan setelah ahli-ahli matematika menciptakan pengertian limit dari seri tak terhingga. Bila suatu rangkaian bilangan betapapun banyaknya menjurus pada suatu titik (disebut proses konvergensi), seri tersebut mempunyai sebuah limit yang merupakan jumlah dari rangkaian itu walaupun banyaknya tak terhingga. Berdasarkan konsep-konsep matematika yang baru itu perbincangan-perbincangan Zeno tidak lagi merupakan paradoks karena dapat ditangani secara logis.

Seorang filsuf besar dari Yunani Kuno setelah masa hidup Zeno yang menegaskan hubungan yang amat erat antara matematika dan filsafat ialah Plato. Kalau pythagoras menekankan pentingnya matematika sebagai suatu sarana atau alat bagi pemahaman filsafati, Plato menegaskan bahwa geometri sebagai pengetahuan ilmiah berdasarkan akal murni (pure reason) menjadi kunci kearah pengetahuan dan kebenaran filsafati serta bagi pemahaman mengenai sifat alami dari kenyataan yang terakhir (the of ultimate reality). Menurut Plato geometri merupakan suatu llmu yang dengan akal murni membuktikan proposisi-proposisi abstrak mengenai hal-hal abstrak seperti misalnya garis lurus, segitiga atau lingkaran yang sempurna. Bentuk-bentuk geometris yang abstrak ini dianggap lebih nyata dari pada benda-benda fisik biasa yang melukiskan bentuk-bentuk itu secara tak sempurna. Begitu tinggi penghargaannya terhadap ilmu tersebut sehingga konon pintu gerbang Akademi Plato tempat orang belajar filsafat tertulis kalimat berikut : Yang terjemahan Inggrisnya berarti ”Let no man ignorat of geometry enter” (janganlah orang yang tak berpengetahuan geometri masuk). Dalam sejarah matematika diberitakan pula bahwa Plato menyatakan : ”God ever geometrizes” (Tuhan senantiasa bekerja dengan metode geometris).

PERSAMAAN DAN PERBEDAAN FILSAFAT DENGAN MATEMATIKA

Jalin-menjalin antara metafisika (khususnya kosmologi yang merupakan ajaran-ajaran tentang jagad raya)  dengan matematika (khususnya geometri dan teori bilangan yang menelaah bentuk geometris dan sifat alami bilangan) sebagai mana dipadukan oleh filsuf-filsuf kuno kemudian diperkuat oleh ilmuan-ilmuan modern. Misalnya saja sebagai pelengkap dari pendapat Plato bahwa Tuhan senantiasa bekerja dengan metode geometri, ahli matematika C.G.J.Jacobi (1804-1851) menyatakan : ”God ever arithmetizes” (Tuhan senantiasa melakukan aritmatik). Pendapat Plato di atas juga terpantul dalam seni.

Suatu pristiwa terjadi dalam 1794 pada diri pelukis Inggris yang terkenal bernama William Blake (1757-1827). Ia melihat suatu pandangan khayal (vision) yang menunjukan Tuhan sedang menciptakan dunia ini dari ruang yang masih hampa dengan mempergunakan sebuah jangka sebagaimana layaknya seorang ahli geometri. Gambar bayangan itu berlangsung selama seminggu diatas tangga rumahnya sehingga akhirnya Blake memutuskan untuk melukiskan pada kanvas. Lukisan tersebut yang tampaknya mencerminkan ucapan Plato itu kini terkenal dan berjudul The anciet of Days (sepuluh Zaman).

Sejalan  artinya dengan kedua pernyataan itu seorang ahli astronomi dan fisika James H. Jeans (1877—1946) menyatakan bahwa ”the Architect of the universe now begins to appear as a pure mathematician” (Arsitek Agung dari jagat raya kini mulai tampak sebagai seorang ahli matematika murni). Sedang nama samaran Le Corbusier yang nama aslinya ialah Charles Edouard Jeanneret (887-1965) mengemukakan : ”Mathematics is the majestic structure conceved by man to grant him comprehension of the universe” (Matematika adalah struktur besar yang dibangun oleh manusia untuk memberikan pemahaman mengenai jagad raya).

Seorang ahli astronomi terkenal yang berbicara tentang matematika dalam kaitannya dengan filsafat ialah Galileo Galilei (1564-1642). Ucapannya yang banyak dikutip orang berbunyi demikian : ”Philosophy is writen in this grand book, the universe, which stands  continually open to our gaze. But the book cannot be understood  unlees one first learns to comprehend the language and read the letters in which it is composed. It is written in the language of mathematics.” (Filsafat telah ditulis dalam buku besar ini, yakni jagad raya yang terus  menerus terbang terbuka bagi pengamatan kita. Tetapi buku itu tidak dapat dimengerti jika seseorang tidak lebih dahulu belajar memahami bahasa dan membaca huruf-huruf yang dipakai untuk menyusun.Buku  itu ditulis dalam bahasa matematik).

Menurut David Bergamini bahkan ada pendapat lebih ekstrim lagi dari Sir George Biddell Airy, seorang ahli astronomi dalam abad 19 yang mendefenisikan seluruh jagad raya sebagai sebuah mesin hitung yang berjalan abadi yang perkakas dan roda giginya ialah suatu sistem tak terhingga dari persamaan-persamaan diferensial yang dapat menghitung sendiri (a perpetual-motion calculating machine  whose gears and ratchets are an infinite system of self-solving differential equations).

Dalam zaman modern hingga abad 20 ini filsafat dan matematika berkembang terus melalui budi dari tokoh-tokoh yang sekaligus merupakan seorang filsuf dan juga ahli matematika seperti misalnya :

–                      Rene Descartes (1596-1650)
–                      Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)
–                      Auguste Comte (1798-1912)
–                      Henri Poincare (1854-1912)
–                      Alfred North Whitehead (1861-1947)
–                      Bertrand William Arthur Russell (1872-1970)
–                      Luitzen Egbertus Jan Brower (1881-1966)
–                      Hermann Weyl (1885-1955)
–                      Hans Reichenbach (1891-1953)8
–                      Alfred Tarski (lahir 1902)
–                      Frank plumpton Ramsey (1903-1930)

Demikianlah sejak permulaan sampai sekarang filsafat dan matematika terus menerus saling mempengaruhi. Filsafat mendorong perkembangan matematika dan sebaliknya matematika juga memacu pertumbuhan filsafat. Di muka telah diberikan contoh bahwa perbincangan-perbincangan paradoks dari filsuf Zeno mendorong lahirnya konsep-konsep matematik seperti variabel sangat kecil yang semakin kecil mendekati nol (infinittesimal), limit seri tak terhingga (inflinite series), dan proses konvergensi. Sebaliknya ahli-ahli matematika dengan melalui metode aljabar, tehnik simbolisme, dan teori himpunan telah membuat logika yang semula termasuk bidang filsafat berkembang begitu pesat serta memperjelas pengertian-pengertian seperti kebenaran, denotasi, konotasi dan bentuk yang digumuli oleh para filsuf. Selanjutnya matematika merupakan sumber penting yang tak kering-kering sejak zaman kono sampai abad modern bagi pemikiran filsafat karena memberikan pelbagai persoalan untuk direnungkan, misalnya persoalan apakah objek matematik (titik, bilangan) secara nyata ada ataukah hanya fisik dalam pikiran manusia,masalah apakah kebenaran matematik hanya satu macam atau banyak macamnya,dan problema apakah pengetahuan matematik bercorak ampiris atau tak bergantung pada pengalaman.

Interaksi antara filsafat dan matematika itu membuat pula adanya padanan dari konsep dan problema pada masing-masing bidang pengetahuan tersebut. Misalnya saja filsuf merenungkan soal-soal keabadian, kebetulan, evolusi, genus dan kwantitas. Sebagai padanannya ahli matematik mempelajari ketakterhinggaan probabilits, kesinambungan, himpunan dan bilangan Jadi terdapat pengertian-pengertian yang sejajar diantara kedua bidang tersebut seperti imortality-infinity (keabadia-ketakterhinggan), chance-probability (kebetulan-probabilitas) atau quantity-number (Kwantitas-bilangan). Kesejajaran ini sedikit banyak menunjukkan adanya persamaan dalam segi-segi tertentu antara filsafat dan matematika. Bilamana diikuti pendapat Plato bahwa geometri berdasarkan akal murni, bagi filsafatpun dapat dikatakan bahwa bidang pengetahuan ini mempergunakan pula akal semata-mata. Dan memang filsafat dan matematik a tidak melakukan eksperimen dan tidak memerlukan peralatan laboratorium.

Segi persamaan lainnya ialah bahwa filsafat dan matematika begerak pada tingkat generalitas dan abstraksi yang tinggi. Kedua bidang pengetahuan itu membahas pelbagai ide yang sangat umum dan lazisimnya melampaui taraf kekonkritan yang satu demi satu. Misalnya filsafat tidak mempersoalkan kayu atau logam melainkan materi pada umumnya, tidak merenungkan perwujudan satu-satu dari masing-masing benda melainkan bentuk sebagai pengertian abstrak. Demikian pula matematik tidak membahas umpamanya 2 pohon atau 3 sapi ataupun bentuk bulat dari suatu roda kayu tertentu melainkan konsep bilangan pada umumnya dan bangun-bangun geometri seperti lingkaran atau segitiga yang terlepas dari penerapan dan perwujudannya pada benda-benda fisik yang ada.

Meskipun filsafat dan matematika mempuyai segi-segi persamaan, namun, segi-segi perbedaan juga cukup menonjal. Walaupun sama-sama merupakan pengetahuan rasional, filsafat dan matematika masing-masing mempergunakan metode rasional yang berbeda. Filsafat boleh dikatakan bebas menerapkan serangkaian metode rasional yang bermacam-macam, sedang matematika hanya bekerja dengan satu metode logis, yakni deduksi. Perbedaan metode itu tampaknya disebabkan karena perbedan ruang lingkup dari hal-hal yang dapat ditelaah masing-masing. Menurut filsuf Mortimer J.Adler filsafat bersangkut-paut dengan ‘pengalaman umum dari umat manusa (comon experience of mankind) dari umat manusa (comon experience of mankind).Jadi seseorang filsuf dapat merenungkan apa saja sepanjang hal itu merupakan bagian dari pengalaman manusia. Di pihak lain matematika mencurahkan perhatiannya hanya pada segi-segi tertentu dari pelbagai hal yang ada. Dalam sejarah matematika beberapa aspek tertentu dari kenyataan yang ditelaah para ahli matematika ialah besaran (quantiy) baik yang menyangkut bilangan maupun ruangan, hubungan (relation), pola (pattern), bentuk (form), dan rakitan (structure). Penelaahan terhadap obyek matematika itu berlangsung dengan metode deduktif dan kebenaran dari hasil penelaahannya harus senantiasa dapat ditunjukan dengan serangkaian langka pembuktian. Dalam filsafat proses pembuktian itu tidak mesti terjadi tetapi yang pasti ialah bahwa filsafat harus berlangsung dengan alasan-alasan yang diperoleh dari penalaran atau dikemukakan dalam perbincangan yang rasional. Misalnya saja kalau seseorang filsuf mengemukakan pendapat bahwa realitas pada dasarnya bercorak kerohanian, ia harus menyajikan uraian-uraian yang beralasan dan masuk akal untuk mendukung pendapatnya itu.

Dalam filsafat dapat terjadi bahwa seseorang filsuf dengan uraian yang juga beralasan dan masuk akal tiba pada suatu pendapat yang bertentangan dengan pendapat filsuf lain. Misalnya sebagai lawan dari contoh pendapat di atas, aliran filsafat materialisme dengan penalaran dan perbincangan yang kuat mempertahankan pendapat bahwa realitas alam semesta ini pada dasarnya bercorak kebendaan. Jadi dalam filsafat tidak terlihat kepastian dan ketegasan seperti halnya dalam metemati. Perbedaan ini menurut filsuf Alferd Cyril Ewing dapat dikembalikan pada 3 sebab yang selengkapnya berbunyi demikian : ”Firstly, it has not proved possible to fix the meaning of terms in the same unambiguous way in philosophy as in mathematics, so that their meaning is liable imperceptibly to change in the course of an argument and it is very difficult to be sure that different philosophers are using the same word in the same sense. Secondly, it is only in the sphere of mathematics that we find simple concepts forming the basis of a vast number of complex and yet rigorously certain inferences. Thirdly, pure mathematics is hypothetical, I,e, it cannot tell us what will be the case if so and-so is true,e.g. that there will be 12 chairs in a room if there are 5+7 chairs. But philosophy aims at being categorical, I,e. telling us what realy is the case; it is therefore not adequate in philosophy, as it often is in mathematics, to make deductions merely from postulates or definitions.”

Pertama, tidaklah terbukti mungkin untuk menetapkan arti dari istilah-istilah dalam cara sama yang tak bermakna ganda pada filsafat seperti halnya dalam matematika, dengan demikian arti dari istilah-istilah itu cenderung secara tak terasa untuk berubah dalam lintasan suatu perbincangan dan sangat sukar untuk memastikan bahwa filsuf-filsuf yang berlainan akan mempergunakan perkataan yang sama dalam makna yang sama.

Kedua, hanyalah dalam lingkungan matematik kita menjumpai konsep-konsep sederhana yang menjadi dasar dari sejumlah besar penyimpulan-penyimpulan  yang rumit tetapi ternyata secara ketat bersifat past.

Ketiga, matematik murni adalah hipotetis, yaitu tidak dapat memberitahu tentang apakah yang menjadi pristiwanya dalam dunianya yang sesungguhnya, misalnya berapa banyak benda terdapat dalam suatu tempat tertentu, melainkan hanyalah apa yang akan menjadi pristiwanya kalau begini-dan-begitu adalah benar, umpamanya akan terdapat 12 kersi dalam satu kamar kalau ada 5+7 kursi. Tetapi filsafat menuju pada corak kategorikal, yakni memberitahu kita apakah senyatanya yang merupakan kususnya; karena tidaklah memadai dalam filsafat sebagaimana halnya sering dalam matematik untuk membuat deduksi-deduksi semata-mata dari patokan pikir atau batasan).

Akhirnya dalam hubungannya dengan deduksi-deduksi yang dibuat matematika oleh matematika itu filsuf Inggris C.D. Broad dalam bukunya Scientific Thought (1949) menegaskan suatu perbedaan lagi antara filsafat dengan matematika. Dalam bidang matematika orang dengan berpangkal pada oksioma-oksioma yang tak diragukan atau premisis-premisis yang dianggap sebagai hipotese menurunkan kesimpulan-kesimpulan sampai yang jauh sekali.sebaliknya filsafat tidak berminat terhadap kesimpulan-kesimpulan yang jauh, melainkan terutama bersangkut paut dengan analisis dan penilaian dari premisis-premisis semulah.

Demikianlah hubungannya dengan yang demikian erat selama berabad-abad antara filsafat dengan matematika berikut segenap segi persamaannya tak diragukan lagi telah menumbuhkan suatu bidang pengetahuan yang dewasa ini sangat menarik perhatian sebagian ahli filsafat atau ahli matematika ataupun ahli kedua-duanya filsafat dan matematika.

PEMIKIRAN FILSAFATI TENTANG MATEMATIKA

Bidang pengetahuan sebagai perwujudan dari interaksi filsafat dengan matematika yang sangat menarik perhatian filsuf dan/atau ahli matematik disebut dengan berbagai nama, yakni:

–  philosophy of mathematics (filsafat matematik)
–  foundations of mathematics (landasan matematik)
–  metamathematics (adi-matematik)
–  Mathematical Philosophy (filsafat kematematikaan)

Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematika merupakan hasil Pemikiran filsafati yang sasarannya ialah matematika itu sendiri. Filsafat sebagai rangkaian aktivitas dari budi manusiapada dasarnya adalah pemikiran reflektif (reflective thinking). Pemikiran relatif atau untuk singkatnya refleksi (reflection) dapat dicirikan sabagai jenis pemikiran yang rediri atas mempertimbangkan secara cermat suatu pokok soal dalam pikiran dan memberikannya perhatian yang sungguh-sungguh dan terus-menerus (the kind of thinking that consits in turning a subject over in the mind ang giving it serious and consecutive consideration). Suatu pendapat lain yang mirip merumuskannya sebagai pertimbangan cermat secara penuh perhatian beberapa kali terhadap hal  yang sama (thinking attentively several times over of the same thing). Dalam sebuah kamus psikologi refective thinking dianggap sepadan denag logikal thinking (pemikiran logis), yakni aktivitas budi manusia yang diarahkan sesuai dengan kaida-kaida logika.

Dengan demikian filsafat matematika pada dasarnya adalah pemikiran relatif terhadap matematika. Matematika menjadi suatu pokok soal yang dipertimbangkan secara cermat dan dengan penuh perhatian. Pemikiran filsafati juga bersifat reflektif dalam arti menengok diri sendiri untuk memahami bekerjanya budi itu sendiri. Ciri reflektif yang demikian itu ditekankan oleh filsuf Inggris R.G. Collingwood yang menyatakan ”philosophy is reflektive. The philosophizing mind never simply thinks also about any object, thinks also about its own thought about that object.” (filsafat bersifat relektif tidaklah semata-mata berpikir tentang suatu obyek; sambil berpikir tentang sesuatu obyek,budi itu senantiasa berpikir juga tentang pemikirannya sendiri mengenai obyek itu). Jadi budi manusia yang diarahkan untuk menelaah obyek-obyek tertentu sehingga melahirkan matematika kemudian juga memantul berpikir tentang matematika sehingga menumbuhkan filsafat matematik agar memperoleh pemahaman  apa dan bagaimana sesungguhnya matematika itu.

Di antara ahli-ahli matematika dan para filsuf tidak tampak kesatuan pendapat mengenai apa filsafat matematika itu. Sebagai sekedar contoh dapatlah dikutipkan perumusan-perumusan dari 2 buku matematik dan 22 kamus filsafat yang berikut  :

1). ”A philosophy of mathematics might be described as a viewpoint from  which the various bits and pieces of mathematics can be organized and unifiet by some basic principles.” (suatu filsafat matematik dapatlah dilukiskan sebagai suatu sudut pandang yang dari situ pelbagai bagian dan kepingan   matematik    dapat  disusun dan dipersatukan berdasarkan beberapa asas dasar).

2). ”In particular, a philosophy of mathematics essentially amounts to an  attempted reconstruction in which the chaotic mass of  mathematical knowledge accumulated over the ages is given a certain sense or order.”  (Secara khusus suatu filsafat matematika pada dasarnya sama dengan suatu percobaan penyusunan kembali yang dengannya kumpulan pengetahun matematika yang kacau balau yang terhimpun seama berabat-abat diberi suatu makna atau ketertiban tetentu.)

3) ”The study of the concepts of and justification for the principles used in mathematis.”(Penelaahan tentang konsep dari pembenaran terhadap asas-asas yang dipergunakan dalam matemarik.)

4) “The study of the concepts and systems appearing in matematics, and of the justification of matematical statements.(Penelaahan tentang konsep-konsep dan sistem-sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai pembenaran terhadap pernyataan-pernyataan matematika.)

Dua pendapat yang pertama dari ahli-ahli matematika menitikberatkan filsafat matematika sebagai usaha menyusun dan menerbitkan bagian-bagian dari matematika yang selama ini terus berkembangbiak. Sedang 2 definisi berikutnya dari ahli filsafat merumuskan filsafat matematika sebagai studi tentang konsep-konsep dalam matematika dan pembenaran terhadap asas atau pernyataan matemati.

Menurut pendapat filsuf Belanda Evert Beth disampingnya matematika sendiri dan filsafat umum harus pula dibedakan adanya 2 bidang pemikiran lainnya,yakni filsafat matematika dalam arti yang lebih luas (philosophy of matematics in a broader sense) dan penelitian mengenai landasan matematik (foundations of matematics).Landasan matematika kadang-kadang dipersamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Foundations of matematics khususnya bersangkutpaut dengan konsep-konsep dan asas-asas fundamental (fundamental concepts and principles) yang dipergunakan dalam matematika. Dengan demikian kedua, definisi philosophy of matematics dari kamus-kamus filsafat tersebut di atas lebih merupakan batasan dari pengertian landasan matematik. Charles Parsons dalam The Encyclopedia of philosohy megaskan :”Foundational research has  always  been concerned with the problem of    justifying mathematical statements and priciples, with understading why certain evident propositions are evident, with providing the justification of accepted principles which seem not quite evident, and with finding and casting off  principles which are unjustified.”(Penelitian landasan senatiasa bersangkutan dengan masalah tentang pembenaran terhadap pernyataan-pernyataan dan asas-asas matematik, dengan pemahaman mengapa proposisi-proposisi tertentu yang jelas sendirinya adalah demikian, degan pemberian pembenaran terhada asas-asas yang telah diterima yang tampaknya tidak sendirinya begitu jelas, dan dengan penemuan dan penaggalan asas-asas yang tak terbenarkan.)

 Dari konsep pokok dan prisip dasar foundations of mathematics meneruskan penelaannya sehingga sampai pada sifat alami (nature) dari matamatik dan bahkan juga tentang metode matematik. Hal ini tegaskan dalam Encyclopaedia Britannica sebagai berikut :

”The study of the foundations of mathematics has dealt with the concepts, and the assumptions about those concepts, with which mathematics starts. Especially since 1900, foundational investigations have come to include also an inquiry into the nature of mathematical theories and the scope of mathematical methods.” (Penelaahan tentang landasan matematika telah bersangkut paut dengan konsep-konsep dan patokan pikiran-patokan pikiran mengenai konsep-konsep itu yang dengannya matematik bermula. Khususnya setelah 1900 penyelidikan-penyelidikan landasan berlangsung hingga mencakup suatu penyelidikan terhadap sifat alami dari teori-teori matematika dan lingkupan dari metode-metode matematika).

Dengan adanya perluasan pokok soal dan permasalahan yang ditelaah itu dapatlah dimengerti bilamana foundations of mathematics seolah-olah identik dengan philosophy of mathematics. Tetapi seperti telah dinyatakan di muka landasan matematika sesungguhnya kalah luas dibandingkan dengan filsafat matematika. Seorang ahli matematika menyatakan bahwa perkataan ’foudations’ bilamana dipakai oleh para ahli matematika mengacu pada studi tentang sifat alami yang mendasar dari matematika (studies of the basic nature of mathematics).

Dalam abad 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematik menumbuhkan 3 mazhab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme,formalisme, dan intuitionisme. Mazhab logisisme dipelopori oleh filsuf Inggris Bertrand Arthur William Russell. Dalam 1903 terbitlah buku beliau The Principles of Mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematika murni semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika. Dengan demikian matematik dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematik dapat diturunkan dari logika. Dalam sebuah karya tulis lainnya Russell menegaskan hubungan antara matematik dan logika itu sebagai berikut:

^”Foundational research has always been concerned with the problem of justifying mathematical statements and principles, with understanding why certain evident propositions are evident,wuth providing the justification of accepted principles which seem not principles which  are unjustifien.” (penelitian landasan senantiasa bersangkutan dengan masalah tentang pembenaran terhadap pernyataan-pernyataan dan asas-asas matematika, dengan pemahaman mengapa proposisi-proposisi tertentu yang jelas sendirinya adalah demikian, dengan pemberian pembenaran terhadap asas-asas yang telah diterima yang tampaknya tidak sendirinya begitu jelas, dan dengan penemuan dan penanggalan asas-asas yang tak terbenarkan.)

Dari konsep pokok dan prinsip dasar foundations of mathematics meneruskan penelaahannya sehingga sampai pada sifat alami (nature) dari matematik dan bahkan juga tentang metode matematik, Hal ini ditegaskan dalam Encyclopaedia Britannica sebagai berikut :

^”The study of the foundations of mathenatics has dealt with the concepts, and the assumptions about those concepts, with which mathematics atarts. Espencially since 1900, foundational investigations have come to include also an inquiry into the nature of mathematical theories and the scope of mathematical methods.” (Penelaahan tentang landasan matematika telah bersangkut paut dengan konsep-konsep dan patokan pikiran-patokan pikiran mengenai konsep-konsep itu yang dengannya matematika bermula. Khususnya setelah 1900 penyelidikan-penyelidikan landasan berlangsng hingga mencakup suatu penyelidikan terhadap sifat alami dari teori-teori matematika dan lingkupan dari metode-metode matematika.)

Dengan adanya perluasan pokok soal dan permasalahan yang ditelaah itu dapatlah dimengerti bilamana foundations of mathematics seolah-olah identik dengan philosophy of mathematics. Tetapi seperti telah dinyatakan dimuka landasan matematika sesunggunya kalah luas dibandingkan dengan filsafat matematika. Seorang ahli matematika menyatakan bahwa perkataan ”foundations” bilamana dipakai oleh para ahli matematika mengacu pada studi tentang sifat alami yang mendasar dari matematika (studies of the basic nature of mathematics).

Dalam abad 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematik menumbuhkan 3 mazhab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme, formalisme,dan intuitonisme. Mazhab logisisme dipelopori oleh filsuf Inggris Bertrand  Arthur William Russell. Dalam 1930 terbitlah buku beliau The Principles of mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematika murni semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika. Dengan demikian matematika dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat diturunkan dari logika. Dalam sebuah karya tulis lainnya Russell menegaskan hubungan antara matematika dan logika itu sebagai berikut :

”But both have developed in moden times : logic has become more mathematical and mathematics has become more logical. The consequence is that it has now become wholly impossible to draw a line between the two; in fact, the two are one. They differ as boy and man : logic is the youth of mathematics and mathematics is the manhood of logic.” (Tetapi kedua-duanya berkembang dalam zaman modern: logika telah menjadi lebih bersifat matematis dan matematika menjadi lebih logis. Akibaynya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkin untuk menarik suatu garis di antara keduanya ; sesungguhnya dua hal itu merupakan satu. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa : logika merupakan masa muda dari matematik dan matematik merupakan masa dewasa dari logika.)

Mazhab landasan matematika formalime dipelopori oleh ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut Mazhab ini sifat alami dari matematika ialah sebagai sifat lambing yang formal. Matematika bersangkut paut dengan sifat-sifat structural dari symbol-simboldan poses pengolahan terhadap lambing-lambang itu. Simbol-simbol dianggap mewakili pelbagai sasran yang menjadi obyek matematika. Bilangan-bilangan misalnya dipandang sebagai sifat-sifat structural yang paling sederhanan dari benda-benda. Dengan simbolisme abstrak yang dilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menunjukkan bentuknya saja Mazhab formalisme berusaha menyelidiki struktur dari pelbagai sistem. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung Mazhab tersebut merumuskan matematik sebagai ilmu tentang sistem-sistem formal (Mathematics is the science of formal systems.)

Berlawanan dengan Mazhab formalisme berkembanglah mazhab landasan matematika intuitionisme yang dipelopori oleh ahli matematik Belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Beliau berpendirian bahwa matematik adalah sama dengan bagian yang eksak dari memikiran manusia.

Ketepatan dalil-dalil matematika terletak dalam akal manusia ( human intellect) dan tidak pada symbol-simbol di atas kertas sebagaimana di yakini oleh mazhab formalisme. Dalam pemikiran mazhab intuitionisme matematik berlandaskan suatu ilham dasar ( basic intuitio)mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas. Ilham ini pada hekatnya merupakan suatu aktivita berpirir yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolisme, sertabersifat obyektif.

Istilah ’foundations’ dalam bidang keilmuan mempunyai makna-makna berlainan. Oleh karena itu untuk kejelasan maknanya kadang-kadang dibubuhi cirinya yang dimaksud. Dalam kaitannya dengan matematika orang menegaskannya dengan istilah ’logical foundations of mathematics’(landasan logismatematik).Istilah ’logical foundations’dapat juga di persamakan dengan ’philosophical foundations’ (landasan filsafati) seperti misalnya dilakukan oleh filsuf Rudolf Carnap (1891-1970). Dengan landasan logis atau filsafati itu para ahli sesuatu bidang ilmu disadarkan terhadap kemungkinan keterbatasan dan kesalahan dari patokanpikiran-patokanpikiran yang dipergunakannya sebagai pangkal dalam ilmunya.

Selain landasan matematika yang kadang-kadang secara kurang tepat dipersamakan dengan filsafat matematika, ada lagi suatu bidang pengetahuan yang juga dicampuradukan dengan philosophy of mathematics, yakni metamathematics (adi-matematik).Misalnya Arthur Pap yang menegaskan perbedaan antara mathematics dan meta-mathematics menyatakan bahwa meta-mathematics menyatakan bahwa meta-mathematics disebut juga ”philosophy of mathematics”.²⁸

Prkataan Yunani ’meta’ berarti diluar, diatas, dibalik atau sesudah. Dalam hubungannya dengan sesuatu cabang ilmu atau bidang pengetahuan awalan meta umumnya diartikan sebagai suatu teori, suatu bahasa atau uraian yang justru membahas atau memaparkan cabang ilmu yang bersangkutan. Dengan demikian secara harafia metamathematics memang dapat berarti bidang pengetahuan yang berada diluar atau diatas matematika yang menelaah matematika itu sendiri separti halnya filsafat matematika. Tetapi menurut asalmulanya dan pertumbuhan selanjutnya adi-matematika dimaksudkan sebagai  sebuah teori pembuktian untuk menetapkan ada atau tidaknya konsistensi dalam matematika dan menjawab masalah-masalah lainnya seperti problem keputusan dan kelengkapan dalam suatu sistim formal.Sebagai pangkal perkenalan dapatlah kiranya dikutipkan 4 buah perumusan matematics yang berikut:”

1)    “the formalization of mathematical proof by means of a logistic system makes possible an objective theory of proofs and provability, in which proofs are treated as concrete manipulations of formulas (and no use is made of meanings of formulas). This is Hilbert’s proof theory, or matematics.”²⁹ (formalisasi dari pembuktian matematika dengan perantaraan suatu sistim logika memungkinkan adanya sebuah teori obyektif tentang pembuktian dan hal dapat dibuktikan yang dalam teori itu pembuktian-pembuktian diperlakukan sebagai pengolahan-pengolahan nyata terhadap rumus-rumus  dan tidak dipersoalkan arti dari rumus-rumus itu. Ini merupakan teori pembuktian dari Hilbert atau adi- matematik.)

2)    “Metamathematics is a branch of mathematical logic which studies formal theories and solves problems pertaining to such theories. (Adi-matematika adalah suatu cabang dari logika matematika yang menelaah teori-teori formal dan memecahkan persoalan-persoalan yang meyangkut teori-teori demikian itu.)

3) Patrik Suppes merumuskan metamathematics sebagai cabang matematika yang menyelidiki sruktur dari sistim-sistim bahasa atau teori-teori yang diformalkan dan hubungannya dengan entitas-entitas matematik lainnya (That  branch of mathematis which investigates the structure of  formalized languages or theories and their relationship to other  mathematical.)

4).  “Hilbert and his folowers used  ideas of this kind to devise a formalitazed theory of proof, including within it a system of  symbolic logic. The aim of the theori was to prove the consistency of logical structure of ordinary mathematic. In as much as the theory was out mathematics, it was termed metamathematics. (Hilbert dan para pengikutnya memakai  ide ide semacam ini untuk menyusun sebuah teori pembuktian yang di formalkan, termasuk di didalamnya sebuah sistem logika simbolik, tujuan dari teori itu ialah membuktikan konsistensi dari struktur logis matematika biasa . oleh karena teori itu berada di,luar matematika, adi-matematika.)

Dari kutipan-kutipan diatas tenyata menurut intinya ada kesatuan pendapat mengenai apa metamathematics itu. Tetapi pelbagai perumusan itu juga mununjukan suatu perbedaan menyolok, yakni status adi matematik apakah suatu teori diluar Mathematika  atau suatu cabang/ sistim logika ataukah suatu di luar matematika itu sendiri. Ahli matematika perancis jean dieudonne menyatakan bahwa adi matematika terapan, karena perbincangan-perbincangan matematika di terpkan pada obyek berupa kalimat kalimat dari teori di formalkan dan pengaturannya menjadi pembuktian-pembuktian.

Metamathematcs dipelopori dan diperkembangkan oleh Davit Hilbert yang juga menjadi pelopor dari mazhab landasan matamatika formalisme. Beliau menyusun program untuk memformalkan cabang-cabang matematika biasa. Formalisasi yang ketat itu meliputi penentuan simbol-simbol yang dengan abstraksi sepenuhnya lalu terlepas dari sesuatu arti tertentu. Rangkaian lambang-lambang yang tersusun baik kemudian menjadi formula-formula atau rumus-rumus untuk memaparkan perbincangan-perbincangan berdasarkan bentuknya (from) saja. Perbincangan dalam bahasa biasa mempergunakan kalimat-kalimat yang dipahami berdasarkan artinya. Bagi sesuatu cabang matematika formalisasiyang demikian itu menghasilkan suatu sistem formal (formal system). Sisrem formal ini kadang-kadang disebut pula teori formal atau matematik formal. Selanjutnya dalam program Hilbert sistem formal sbagai suatu keseluruhan dijadikan abjek dari suatu studi matematik yang dinamakan adi-matematik atau teri pembuktian. Stephen Cole Kleene dalam buku pengantarnya menegaskan lingkupan adi-matematika itu sebagai berikut :

”Metamathematics includes the description or definition of formal system as well as the investigation of properties of formal system. In dealing with a particular formal system, we may call the system the object theory, and the metamathematics relating to it its metatheory.” (Adi-matematika meliputi pemaparan atau definisi dari sistem-sistem formal maupun penyelidikan terhadap sifat-sifat dari sistem-sistem formal. Dalam pembahasan terhadap suatu sistem formal khusus, kita dapat menamakan sistem itu teori sasaran dan adi-matematika yang bertalian dengannya adi-teorinya.)

Demikianlah dari uraian di muka ternyatalah bahwa metamathematics juga tidak identik dengan philosophy of mathematics. Seperti halnya foundations of mathematics, adi-matematik juga lebih terbatas ruang lingkupnya dari pada filsafat matematika, yakni menelaah sifat-sifat dari sesuatu sistem formal khususnya matematika untuk membuktikan konsistensi dan kelengkapan dari sesuatu cabang matematika.

Dalam kepustakaan masih ada satu lagi bidang pemikiran filsafati yang bersangkutpaut denag matematika, yaitu mathematical philosophy yang sabaiknya diterjemahkan kedalam Bahasa Indonesia menjadi filsafat kematematikan untuk di bedahkan dengan filsafat matematika (philosophy of mathematics). Tampaknya memang cukup sulit untuk membedahkan mathematical philosophy dengan philosophy of mathematics, karena kedua bidang itu sama-sama merupaka pemikiran filsafati. Tetapi suatu pembedaan dapatlah kiranya dilakukan dengan menafsirkan mathematical philosophy sebagai filsafat berdasarkan matematika, sedangkan tafsiran philosophy of mathematics ialah filsafat mengenai matematika. Dengan tafsiran yang demikian itu tampaklah kini perbedaan yang lebih jelas antara kedua bidang pemikiran itu. Filsafat kematematikan sebagai suatu filsafat berdasarkan matematika memakai matematika sebagai pangkal tolak dan sumber ide untuk melakukan pemikiran filsafati. Suatu contoh dari mathematical philosophy misalnya ialah Pythagoreanisme yang dipaparkan dalam bab I dimuka. Aliran filsafat ini dengan berpangkalan pada bilangan mengemukakan pemikiran filsafati bahwa semua fenomena alam merupakan pengungkapan inderawi dari perbandingan-perbandingan matematis. Dipihak lain filsafat matematika sebagaimana dinyatakan pada permulaan bab ini merupakan pemikiran filsafati tentang matematika untuk memperoleh pemahaman mengenai segenap segi apa dan bagaimana dari matematik itu.

Usaha untuk memahami segenap aspek dari matematika telah menumbuhkan bidang pengetahuan filsafat matematik yang sangat luas pada dewasa ini. Filsafat matematika merupakan salah satu cabang dari filsafat ilmu-seumumnya (philosophy of science-in-general). Dengan demikian persoalan-persoalan dalam filsafat ilmu-seumumnya juga mempunyai kaitan dengan filsafat matematika.